ICSE Guess > ICSE/ISC eBooks > Class X > Maths by Mr. M. P. Keshari

ICSE / ISC eBooks

EXERCISE – 25

Prove the following identities :

Q. 1.

1. (secA – 1)/(secA + 1)=(1 – cosA)/(1 + cosA).
2. cosA/(1 – tanA )+sinA /(1 – cotA)=sinA + cosA.
3. sinAtanA/(1 – cosA)=1 + secA.
4. (1 + tanA)² + (1 – tanA)² = 2sec²A.
5. cosA/(1 – tanA) + sinA/(1 – cotA)=cosA + sinA.
6. 1/(sinA + cosA) + 1/(sinA – cosA)=2sinA/(1 – 2cos²A).
7. 1 – cos²A/(1 + sinA) = sinA.
8. cot²A – cos²A = cot²Acos²A.
9. sinA/(1 – cosA )=cosecA + cotA.
10. tan²A + cot²A + 2  =  sec²Acosec²A.

Q. 2. (sinA – 2sin³A)/(2cos³A – cosA)= tanA.

Q. 3. sinA /(cotA + cosecA)  = 2 + sinA /(cotA – cosecA).

Q. 4. 2 sec²A – sec⁴A – 2cosec²A + cosec⁴A= cot⁴A – tan⁴A.

Q. 5. sinA /(1 + cosA) + (1 + cosA)/sinA=2cosecA.

Q. 6. (sinA + secA)² + (cosA + cosecA)²=(1 + secA cosecA)² .

Q. 7. cos²A/(1 – tanA ) + sin³A /(sinA – cosA)=1 + sinA cosA.

Q. 8. (sinA – cosA)/(sinA + cosA)+(sinA + cosA)/(sinA – cosA)=2/(2sin²A – 1) = 2/(1 – 2cos²A)= 2sec²A/(tan²A – 1).

Q. 9. (sinA + 1 – cosA)/(cosA – 1 + sinA)=(1 + sinA)/cosA.

Q. 10.

1. √[(1 – cosA )/(1 + cosA)] = sinA/(1 + cosA).
2. √[(1 + cosA)/(1 – cosA)] + √[(1 – cosA)/(1 + cosA)] = 2cosecA.

Q. 11. √[(secA – 1)/(secA +1)] + √[(secA +1)/(secA – 1)]=2cosecA.

Q. 12. 1/(cosecA + cotA) – 1/sinA=1/sinA – 1/(cosecA – cotA).

Q. 13. 1/(secA – tanA ) – 1/cosA=1/cosA – 1/(secA + tanA).

Q. 14. tanA/(1 – cotA ) + cotA/(1 – tanA)=1 + secA cosecA = 1 + tanA + cotA.

Q. 15. cosA/(1 – tanA) – sin²A / (cosA – sinA)=sinA + cosA.

Q. 16. (1 + cosA – sin²A )/sinA(1 + cosA) = cotA.

Q. 17. secA(1 – sinA )(secA + tanA)=1.

Q. 18. cosecA/(cosecA – 1) + cosecA/(cosecA + 1)=2 + 2tan²A.

Q. 19. tan²A – tan2B = (sin²A – sin²B)/cos²Acos²B.

Q. 20. (secA + tanA – 1)/(tanA – secA +1)=cosA/(1 – sinA).

Q. 21. (tanA + sinA)/(tanA – sinA)=(secA +1)/(secA – 1).

Q. 22.

1. (1 + 1/tan²A)(1 + 1/cot²A)=1/(sin²A – cos²A).
2. cosA/sin(90d – A) + sinA/cos(90d – A)>=2.
3. sin(90d – A)/cosec(90d – A) + cos(90d – A)/sec(90d – A)=1.
4. cosAsin(90d – A) + sinAcos(90 – A)=1.

Q. 23. If x = psecA + qtanA and y = ptanA + qsecA, prove thatx² – y² = p² – q².

Q. 24.

1. If x = asinA +bcosA and y = acosA – bsinA, prove that x² + y² = a² + b².
2. If xcosA – ysinA = a ; xsinA + ycosA = b, prove that x² + y² = a² + b².
3. If x = h + a cosA, y = k + b sinA, prove that [(x – h)/a]² + [(y – k)/b]² = 1.

Q. 25. If cosA + sinA = √2cosA, show that cosA – sinA = √2sinA.

Q. 26. If sinA + sin²A = 1, prove that cos²A + cos⁴A = 1.

Q. 27. If A, B, C are the interior angle of a triangle ABC, show that: sin(B + C)/2=cosA/2.

Q. 28. If A and B are acute angles and sinA = cosB, find the value of sinC. [Ans. 1]. Evaluate without using trigonometric tables :

Q. 29.

1. sin80º/cos10º + sin59ºsec31º.
2. 2tan53º/cot37º– cot80º/tan10º.
3. cos75º/sin15º + sin12º/cos78º – cos18º/sin72º.
4. 3cos80ºcosec10º + 2cos59ºcosec31º.
5. 3sin72º/cos18º – sec32º/cosec58º.

Q. 30. (sin²25º + sin²65º) + √3(tan5ºdtan15ºtan60ºtan75ºtan85º).

Q. 31. sec39º/cosec51º + (2/√3) tan17ºtan38ºtan60ºtan52ºtan73º 3 (sin²31º + sin²59º).

Q. 32. (a)(cos²20º + cos²70º)/(sec²50º – cot²40º) + 2cose²58º – 2cot58ºtan32º – 4tan13ºtan37ºtan45ºtan53ºtan77º.

Q. 33. (b) sin31º.sec59º + (tan67º/cot23º)² + sin²35º – cos²55º.

Q. 34. Without using mathematical tables, find the value of x if

Q. 35. If sin x = 3/5 and cos y 12/13; evaluate (a) secant²x(b) tan x + tan y. [(a) 25/16. (b) 7/6].

Q. 36. If 2sinA – 1 = 0, show that : sin3A = 3sinA – 4sin³A.

Q. 37. acosA + bsinA = m and asinA – bcosA = n[a² + b² = m² + n²]. 37. x = asecA + btanA, y = atanA + bsecA.[a² – b² = x² – y²].

Q. 38. (x/a)cosA + (y/b)sinA = 1 and (x/a)sinA – (y/b)cosA = 1.[x²/a² + y²/b² = 2].

Q. 39. sinA + cosA = a, sinA – cosA = b.[a² + b² = 2].

Q. 40. x(cosA + sinA) = a, x(cosA – sinA) = b.[a² + b² = 2x²].When 0d< A<90d, solve the following equations :

Q. 41. 2sin²A = 1/2.(30º).

Q. 42. 4cos²A = 3.(30º).

Q. 43. 2cos3A = 1.(20º).

Q. 44. 2cos²A + sinA – 2 = 0. (30º).

Q. 45. cos63º sec(90º – A) = 1.(27º).