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Example – 5. If x = r cosαsinβ, y = rcosαcosβ and z = rsinα, show that x² + y² + z² = r².

Solution :-  x² + y² + z² = r²cos²αsin2β + r²cos²αcos²β + r²sin²α
                                        = r²(cos²αsin²β + cos²αcos²β + sin²α)
                                        = r²[cos²α(sin²β + cos²β) + sin²α]
                                        = r²(cos²α + sin²α)                   [sin²β + cos²β= 1]
                                        = r²                                            [cos²α + sin²α = 1]

Example – 6. Prove that : (cotθ – cosecθ)² = (1 – cosθ)/(1 + cosθ)

Solution :-  LHS = (cotθ – cosecθ)²
                            = (cosθ/sinθ – 1/sinθ)²
                            = [(cosθ - 1)/sinθ]²
                            = (1 – cosθ )²/sin²θ
                            =  (1 – cosθ)²/(1 – cos²θ)
                            = (1 – cosθ )²/(1 – cosθ )(1 + cosθ) 
                            = (1 – cosθ)/(1 + cosθ) 
                            = RHS

Example - 7. Without using trigonometric table, prove that :

(cos²20º + cos²70º)/(sin²20º + sin²70º) + sin²64º + cos64º.sin²6º = 2.

Solution :- LHS = (cos²20º + cos²70º)/(sin²20º + sin²70º) + sin²64º + cos64º.sin26º
                          = [ cos²20º + cos²(90º – 20º)]/[sin²20º + sin²(90º – 20º)] + sin²64º + cos64º.sin(90º – 64º) 
                            = (cos²20º + sin²20º)/(sin²20º + cos²20º) + sin²64º + cos64º.cos64º
                                                                              [cos(90º – θ) = sinθ; sin(90º – θ) = cosθ]
                            = 1 + (sin²64º + cos264º)          [sin²θ + cos²θ = 1]
                            = 1 + 1 = 2 = RHS